반응형
정의역 치역 완벽 정리 | 개념부터 문제풀이까지
고등수학 정의역과 치역 핵심 개념 총정리
고등수학에서 가장 중요한 개념 중 하나인 정의역 치역에 대해 완벽하게 정리해드리겠습니다. 정의역과 치역은 함수를 이해하는 핵심 개념으로, 수능과 내신시험에서 자주 출제되는 중요한 단원입니다.
정의역 치역이란 무엇인가?
정의역과 치역은 함수의 기본 구성 요소입니다. 함수를 완전히 이해하기 위해서는 반드시 정의역 치역 개념을 정확히 알아야 합니다.
정의역 (Domain) 완벽 이해
정의역은 함수 f(x)에서 x가 취할 수 있는 모든 값의 집합입니다. 즉, 함수에 입력할 수 있는 모든 x값들을 의미하며, 정의역을 벗어난 값은 함수에 대입할 수 없습니다.
📈 정의역을 나타내는 x축 범위 그래프
[정의역 구간을 색칠한 x축 이미지]
[정의역 구간을 색칠한 x축 이미지]
치역 (Range) 완벽 이해
치역은 함수 f(x)에서 y가 취할 수 있는 모든 값의 집합입니다. 정의역의 모든 x값에 대응하는 함수값 y들의 집합이 바로 치역입니다.
📊 치역을 나타내는 y축 범위 그래프
[치역 구간을 색칠한 y축 이미지]
[치역 구간을 색칠한 y축 이미지]
정의역 치역 기본 표기법
y = f(x)에서 x ∈ D (정의역), y ∈ R (치역)
y = f(x)에서 x ∈ D (정의역), y ∈ R (치역)
정의역 치역 구하는 방법
1. 일차함수의 정의역 치역
일차함수에서 정의역 치역을 구하는 방법은 매우 간단합니다. 일차함수 f(x) = ax + b (a ≠ 0)의 경우, 정의역과 치역 모두 실수 전체(ℝ)가 됩니다.
📈 일차함수의 정의역과 치역을 보여주는 그래프
[직선 그래프와 정의역, 치역 표시 이미지]
[직선 그래프와 정의역, 치역 표시 이미지]
2. 이차함수의 정의역 치역
이차함수에서 정의역 치역 구하기는 조금 더 복잡합니다. 이차함수 f(x) = ax² + bx + c에서 정의역은 항상 실수 전체이지만, 치역은 포물선의 꼭짓점에 따라 달라집니다.
📊 이차함수의 정의역과 치역을 보여주는 포물선 그래프
[포물선과 꼭짓점, 치역 표시 이미지]
[포물선과 꼭짓점, 치역 표시 이미지]
3. 제곱근함수의 정의역 치역
제곱근함수에서 정의역 치역을 구할 때는 특별한 주의가 필요합니다. f(x) = √x 형태의 함수에서는 근호 안의 값이 0 이상이어야 하므로 정의역에 제한이 생깁니다.
📈 제곱근함수의 정의역과 치역 그래프
[제곱근 함수 곡선과 정의역, 치역 표시 이미지]
[제곱근 함수 곡선과 정의역, 치역 표시 이미지]
정의역 치역 실전 문제풀이
이제 정의역 치역 개념을 실제 문제에 적용해보겠습니다. 정의역과 치역을 정확히 구하는 연습을 통해 완벽하게 마스터해보세요.
정의역 치역 문제 1 - 이차함수
다음 함수의 정의역과 치역을 구하시오.
f(x) = x² - 4x + 3
이 문제는 이차함수의 정의역 치역을 구하는 대표적인 문제입니다.
📊 f(x) = x² - 4x + 3 그래프와 정의역, 치역 표시
[포물선 그래프 이미지]
[포물선 그래프 이미지]
1단계: 정의역 구하기
이차함수 f(x) = x² - 4x + 3은 모든 실수에서 정의됩니다. 따라서 이 함수의 정의역은 실수 전체입니다.
정의역: D = ℝ (모든 실수)
2단계: 치역 구하기 - 완전제곱식 변형
치역을 구하기 위해 f(x) = x² - 4x + 3을 완전제곱식으로 변형합니다.
f(x) = x² - 4x + 3
= (x - 2)² - 4 + 3
= (x - 2)² - 1
= (x - 2)² - 4 + 3
= (x - 2)² - 1
3단계: 치역의 최솟값 찾기
(x - 2)² ≥ 0이므로, f(x) = (x - 2)² - 1 ≥ -1입니다. x = 2일 때 최솟값 -1을 가지므로 치역은 [-1, ∞)입니다.
치역: R = [-1, ∞)
정의역 치역 답
정의역: ℝ (모든 실수)
치역: [-1, ∞)
치역: [-1, ∞)
📈 문제 1 해답을 보여주는 그래프 분석
[완전제곱식 변형과 꼭짓점 표시 이미지]
[완전제곱식 변형과 꼭짓점 표시 이미지]
정의역 치역 문제 2 - 제곱근함수
다음 함수의 정의역과 치역을 구하시오.
f(x) = √(x - 1)
제곱근함수의 정의역 치역을 구하는 문제입니다.
📊 f(x) = √(x-1) 그래프와 정의역, 치역 표시
[제곱근 함수 그래프 이미지]
[제곱근 함수 그래프 이미지]
1단계: 정의역 구하기
제곱근 함수에서는 근호 안의 값이 0 이상이어야 합니다. 따라서 정의역을 구하기 위해 다음 부등식을 풉니다.
x - 1 ≥ 0
x ≥ 1
x ≥ 1
따라서 이 함수의 정의역은 [1, ∞)입니다.
2단계: 치역 구하기
x ≥ 1일 때, x - 1 ≥ 0이므로 √(x - 1) ≥ 0입니다. x = 1일 때 최솟값 0을 가지고, x가 증가하면 함수값도 무한히 증가합니다. 따라서 치역은 [0, ∞)입니다.
√(x - 1) ≥ 0
정의역 치역 답
정의역: [1, ∞)
치역: [0, ∞)
치역: [0, ∞)
📈 문제 2 해답을 보여주는 제곱근함수 분석
[제곱근함수의 정의역과 치역 구간 표시 이미지]
[제곱근함수의 정의역과 치역 구간 표시 이미지]
정의역 치역 문제 3 - 분수함수
다음 함수의 정의역과 치역을 구하시오.
f(x) = 1/(x - 2)
분수함수의 정의역 치역을 구하는 중요한 문제입니다.
📊 f(x) = 1/(x-2) 그래프와 점근선, 정의역, 치역 표시
[분수함수 쌍곡선 그래프 이미지]
[분수함수 쌍곡선 그래프 이미지]
1단계: 정의역 구하기
분수함수에서는 분모가 0이 되면 함수가 정의되지 않습니다. 따라서 정의역을 구하기 위해 분모가 0이 되는 경우를 제외합니다.
x - 2 ≠ 0
x ≠ 2
x ≠ 2
따라서 이 함수의 정의역은 ℝ - {2} (2를 제
반응형